Jumat, 19 November 2010

aturan hospital

Diposting oleh ely yupz

ATURAN L’HOSPITAL
Biarkan lim untuk batas lim_ (x-> c), , lim_ (x-> c ^ -), , lim_ (x-> c ^ +), , lim_ (infty x->), or , Atau lim_ (x->-infty), Dan anggaplah bahwa lim f (x)dan lim g (x)keduanya nol atau keduanya + /-Infty. . Jika
lim (f ^ '(x)) / (^ g' (x))
(1) (1)
memiliki nilai terbatas atau jika batas adalah + /-Infty, Maka
lim (f (x)) / (g (x)) = lim (f ^ '(x)) / (^ g' (x)).
(2) (2)
LHospitalsRuleOscillatory
L'Hospital's aturan kadang-kadang gagal untuk menghasilkan hasil yang bermanfaat, seperti dalam kasus fungsi lim_ (infty u->) u (u ^ 2 +1) ^ (-1 / 2), Berulang kali menerapkan aturan tersebut dalam hal ini memberikan ekspresi yang berosilasi dan tidak pernah bertemu,
lim_ (infty u->) u / ((u ^ 2 +1) ^ (1 / 2))
=
lim_ (infty u->) 1 / (u (u ^ 2 +1) ^ (-1 / 2))
(3) (3)
http://mathworld.wolfram.com/images/equations/LHospitalsRule/Inline14.gif
=
lim_ (infty u->) ((u ^ 2 +1) ^ (1 / 2)) / u
(4) (4)
http://mathworld.wolfram.com/images/equations/LHospitalsRule/Inline17.gif
=
lim_ (infty u->) (u (u ^ 2 +1) ^ (-1 / 2)) / 1
(5) (5)
http://mathworld.wolfram.com/images/equations/LHospitalsRule/Inline20.gif
=
lim_ (infty u->) u / ((u ^ 2 +1) ^ (1 / 2))
(6) (6)
http://mathworld.wolfram.com/images/equations/LHospitalsRule/Inline23.gif
=
....
(7) (7)
Yang sebenarnya batas adalah 1.
LHospitalsRule1
L'Hospital's aturan kadang-kadang harus diterapkan dengan hati-hati, karena hanya berlaku dalam kasus implisit dipahami bahwa ^ g '(x)tidak mengubah tanda tak terhingga sering di sekitar infty. Sebagai contoh, mempertimbangkan membatasi f (x) / g (x)with dengan
f (x)
=
x + cosxsinx
(8) (8)
g (x)
=
e ^ (sinx) (x + cosxsinx)
(9) (9)
sebagai x infty->. Sementara kedua f (x) dan g (x) pendekatan inftysebagai x infty->, Batas rasio dibatasi dalam interval [1 / e, e], while the limit of , Sedangkan batas ^ f '(x) / g ^' (x) 0 pendekatan 0 (Boas 1986).
LHospitalsRule2
Contoh lain yang serupa adalah batas f (x) / g (x)with dengan
f (x)
=
xsin (x ^ (-4)) e ^ (-1 / x ^ 2)
(10) (10)
g (x)
=
e ^ (-1 / x ^ 2)
(11) (11)
 sebagai x-> 0. Sementara kedua f (x) dan g (x)0 Pendekatan 0 sebagai x-> 0, Batas dari rasio tersebut adalah 0, sementara membatasi ^ f '(x) / g ^' (x)  adalah terbatas pada garis nyata (Wilf 1966, Rickert 1968).

Untuk latihan berhitung cepat limit, menyusun beberapa pendekatan: pengenalan (0/0) dan pengenalan (~/~).
1.
\lim_{x \to 5}\frac{x^2 - 2x - 15}{x - 5}
Jawab:
Langkah pertama dari penyelesaian limit adalah substitusikan, nilai x = 5. Maka kita peroleh:
\frac{5^2 -2.5 - 15}{5 - 5}
= 0/0
Bentuk 0/0 adalah bentuk tak tentu. Karena itu kita perlu memanfaatkan limit untuk menentukan nilai dari bentuk tak tentu tersebut.
Langkah kedua, adalah menghilangkan pembuat 0/0.
Dalam contoh kita, tampak jelas pembuat 0/0 adalah adanya (x – 5).
Jadi kita harus mengubah bentuk di atas menjadi :
\frac{f(x).(x - 5)}{x - 5}
Kita memperoleh:
\frac{(x + 3)(x - 5)}{x - 5}
= x + 3.
Langkah ketiga, substitusikan lagi x = 5. Maka kita peroleh:
x + 3 = 5 + 3 = 8 (Selesai)
Bolehkan kita menggunakan dalil L’Hospital?
Tentu boleh! Mengapa?
Karena bentuk 0/0.
\lim_{x \to 5}\frac{x^2 - 2x - 15}{x - 5}
Turunkan pembilang dan penyebutnya, kita peroleh:
\frac{2x - 2}{1}
= 2.5 – 2 = 8 (Selesai).
Mudah dan Cepat Belajar Berhitung Limit L’Hospital
Menghitung limit dapat saja menjadi proses yang menyulitkan. Bukan hanya prosesnya yang sulit.
Tentu saja para ahli matematika terus mencari cara menghitung limit yang lebih mudah. L’Hospital adalah salah satu tokoh matematika yang berhasil menemukan cara menghitung limit dengan mudah dan cepat. Kita mengenal metode ini sebagai dalil atau aturan L’Hospital.
Syarat berlakunya dalil L’Hospital adalah bentuk (0/0) atau (~/~); nol per nol atau tak hingga per tak hingga.
1.
\lim_{x\rightarrow 2}\frac{2x - 4}{x - 2}
2.
\lim_{x\rightarrow 3}\frac{x^2 -x - 6}{x - 3}
3.
\lim_{x\rightarrow ~}\frac{8x^2 - 5x + 4}{2x^2 - 2}
No 1 adalah bentuk (0/0) maka gunakan dalil L’Hospital, turunkan:
2/1 = 2 (Selesai).
No 2 adalah bentuk (0/0), turunkan
(2x – 1)/1 = 2.3 – 1 = 5 (Selesai).
No 3 adalah bentuk (~/~), turunkan
(2.8x – 5)/2.2x = (~/~)
= 2.8/2.2 = 4 (Selesai)




Cara Mudah Menghitung Limit dengan Dalil L’Hospital
Menghitung limit dengan dalil L’Hospital memang sangat mudah: tinggal turunkan saja.
Bagian paling penting dari dalil L’Hospital adalah syarat berlakunya hanya pada bentuk tak tentu
0/0 ATAU ~/~
Contoh:
1. Hitung
\lim_{x\rightarrow2} \frac{x^3 - 8}{x - 2} =
Jawab:
Langsung gunakan dalil L’Hospital, turunkan
= \frac{3x^2}{1}
= 3.2^2 = 12 (Selesai)
Tetapi langkah di atas dapat saja salah. Karena kita belum menguji syarat berlakunya dalil L’Hospital. Seharusnya, sebelum menghitung,
ujilah untuk x = 2,
maka hasilnya adalah
(8 – 8)/(2 – 2) = (0/0); jadi berlaku L’Hospital.
2. Hitung
\lim_{x\rightarrow3} \frac{x^3 - 27}{x - 2} =
Jawab:
Langsung gunakan dalil L’Hospital, turunkan
= \frac{3x^2}{1}
= 3.3^2 = 27 (Selesai)
Memang mudahkan?
Tetapi jawaban di atas adalah SALAH.
Mengapa?
Mari kita uji dulu x = 3, maka
(3^3 – 27)/(3 – 2) = 0/1 = 0
Karena bukan 0/0 maka tidak sah menggunakan dalil L’Hospital.
Berapa hasil limit di atas?
Ya 0 itu sendiri.
(3^3 – 27)/(3 – 2) = 0/1 = 0 (Sendiri).

Limit Mudah dengan L’Hospital
Dalam buku “Differential Calculus” (1696) ada sebuah aturan L’Hospital yang menghubungkan antara perhitungan limit dengan differensial. Dengan aturan ini, soal limit yang rumit dapat dengan mudah diselesaikan.
Aturan L’Hospital secara ringkas berbunyi:
hkm_lhospital
Contoh : Carilah nilai dari
soal1
Maka penyelesaian secara aljabar dapat dilakukan sebagai berikut:
penye1_soal1

Kendala yang tampak adalah memfaktorkan pembilang dan penyebut untuk “menghilangkan” penyebab penyebut nol.

Bandingkan! Pada soal, bila x kita substitusi dengan 3 menghasilkan 0/0, maka soal ini dapat diselesaikan dengan aturan L’Hospital. 
penye2_soal1

Tapi ingat ada beberapa soal limit yang justru tambah sulit kalau memakai aturan L’Hospital, terutama soal yang apabila pembilang dan penyebutnya di-turun-kan masih 0/0, kemudian pe-nurun-an berikutnya jadi lebih rumit. Contoh soal berikut:
soal2

Jadi mesti bijak dan banyak berlatih, agar segera mengenali cara yang harus digunakan, begitu kita berhadapan dengan soal.

Pembuktian aturan l’hospital

 Aturan yang sering kita gunakan dalam kalkulus

Aturan l’hospital berkata :
1. jika {\displaystyle \lim_{x\rightarrow c}f(x)=0}dan {\displaystyle \lim_{x\rightarrow c}g(x)=0}maka {\displaystyle \lim_{x\rightarrow c}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\rightarrow c}\frac{f'(x)}{g'(x)}}
2. Jika {\displaystyle \lim_{x\rightarrow c}f(x)=\infty}dan {\displaystyle \lim_{x\rightarrow c}g(x)=\infty}maka {\displaystyle \lim_{x\rightarrow c}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\rightarrow c}\frac{f'(x)}{g'(x)}}

Untuk membuktikan aturan l’hospital, kita membutuhkan teorema nilai tengah cauchy  cauchy mean value theorem yang berkata
Jika f(x)fungsi kontinyu pada interval tertutup \left[a,b\right]maka ada celemen interval terbuka (a,b)dimana
{\displaystyle \frac{f'(c)}{g'(c)}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}

Nah.sekarang pembuktian untuk point no.1
menurut teorema nilai tengah cauchy diperoleh {\displaystyle \frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}=\frac{f(c+h)-f(c)}{g(c+h)-g(c)}}untuk suatu \xi\in(c,c+h)
karena f(c)=g(c)=0maka {\displaystyle \frac{f(\xi)}{g(\xi)}=\frac{f(c+h)}{g(c+h)}}
jika h\rightarrow0berakibat \xi\rightarrow cmaka diperoleh

Untuk point no.2
Diketahui f(x)dan g(x)terturun pada interval tertutup \left[c,a\right]dimana
{\displaystyle \lim_{x\rightarrow a}f(x)=\lim_{x\rightarrow a}g(x)=\infty,\,\frac{f'(a)}{g'(a)}=m}
menurut teorema nilai tengah cauchy ada \xi\in(c,x)\subset[c,a]dimana
{\displaystyle \frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}=\frac{f(x)-f(c)}{g(x)-g(c)}}i.
Ambil sebarang \epsilon>0maka terdapat \delta>0dimana
{\displaystyle \left|\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}-m\right|<\epsilon}

dengan 0<|\xi-a|<\delta. asumsi titik cdan titik xterletak pada radius \deltaatau dengan kata lain a-\delta<c<\xi<x<a<a+\deltadari persamaan i diproleh
{\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}=\frac{1-g(c)/g(x)}{1-f(c)/f(x)}\bullet\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}}
kita tahu bahwa {\displaystyle \lim_{x\rightarrow a}\frac{1-g(c)/g(x)}{1-f(c)/f(x)}=1}
selanjutnya akan kita buktikan jika x\rightarrow amaka \xi\rightarrow a.
Andaikan xmendekati amaka ada 0<\delta'<\deltadimana |x-a|<\delta'<\delta
Untuk sebarang \epsilon>0diperoleh
{\displaystyle \left|\frac{1-g(c)/g(x)}{1-f(c)/fx)}-1\right|<\frac{\epsilon}{|m|+\epsilon}}

untuk |x-a|<\delta'diperoleh

{\displaystyle \leq\epsilon+(|m|+\epsilon)\frac{\epsilon}{|m|+\epsilon}=2\epsilon}
Itu membuktikan {\displaystyle \lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\rightarrow a}\frac{f'(x)}{g'(x)}=m}
dari mana datangnya rumus ini: \frac{f(\xi)}{g(\xi)}=\frac{f(c+h)-f(c)}{g(c+h)-g(c)}?
Itu didapet dari teorema nilai tengah
{\displaystyle \frac{f(\xi)}{g(\xi)}=\frac{f(c+h)-f(c)/(c+h)-c}{g(c+h)-f(c)/(c+h)-c}}

trus kita coret (c+h)-c

Teorema nilai tengah khan bunyinya:
f'(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}
Kami search di google, rumus yang benar untuk Cauchy’s Mean Value Theorem adalah \frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}.. Jadi, bukan f(\xi)tapi f'(\xi). begitu pula dengan g(\xi).. Dan, teorema Cauchy setahu kami tidak bisa didapat langsung dengan hanya membagi f'(\xi)dengan g'(\xi), karena meskipun nilai a dan b nya sama, nilai \xi belum tentu sama untuk keduanya.. Jadi, jika dibagi secara langsung, maka rumus yang muncul adalah . Dengan demikian, perlu dibuktikan lagi mengapa \xi_1=\xi_2..

DAFTAR PUSTAKA:
Abramowitz, M. and Stegun, IA (Eds.). Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing. New York: Dover, p. 13, 1972. Abramowitz, M. dan Stegun, IA (eds.). Handbook Rumus Matematika Fungsi, Grafik, dan Tabel Matematika, cetak 9. New York: Dover, hal 13, 1972.
Arfken, G. Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press, 1985. Arfken, G. Metode Matematika untuk fisikawan, 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press, 1985.
Boas, RP "Counterexamples to L'Hopital's Rule." Amer. Boas, RP "tandingan untuk L'Peraturan Hopital's Amer.". Math. Monthly 93 , 644-645, 1986. Math. Bulanan 93, 644-645, 1986.
Gray, A. Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces with Mathematica , 2nd ed. Boca Raton, FL: CRC Press, 1997. Gray, A. Modern Diferensial Geometri dari Kurva dan Permukaan dengan Mathematica, 2nd ed. Boca Raton, FL: CRC Press, 1997.

Label:  

0 komentar:

Posting Komentar

Langganan: Posting Komentar (Atom)
ely supriyani © 2008 Por *Templates para Você*